Je voudrais que la date de mise à jour de mon classeur s'enregistre automatiquement à la
fermeture.

Dans la feuille de code de l'onglet ou tu désires l'information:

Private sub Workbook_BeforeSave(ByVal SaveAsUI As Boolean, Cancel As Boolean)
 [A1] = "Date de la dernière modification : " & Date
  end sub