Comment obtenir trois graphiques superposés de fonctions mathématiques sans faire de tableau de valeurs.

Application

1. Voir des translations verticales et horizontales, des réflexions par rapport à

• l'axe des X et l'axe des Y, des contractions et des dilatations :
• Translation verticale : f(x)+k
• Translation horizontale : f(x+k)
• Réflexion OX : -f(x)
• Réflexion OY : f(-x)
• Contraction : k*f(x), où k>1
• Dilatation : k*f(x), où 0<k<1

2. Voir les liens entre une fonction, sa dérivée première et sa dérivée seconde. Recherche des minima, maxima et points d'inflexion d'une fonction.

Cette façon de faire s'inspire de deux formules extrêmes de Stephen Bullen trouvées dans son document Chart Formula à l'adresse suivante : http://www.oaltd.co.uk/Excel/Default.html

Mise en oeuvre

Construction

Il faut suivre les instructions à la lettre

A) Nommer une feuille, six cellules et formater « texte »

1. Double-cliquer sur l'onglet d'une feuille et écrire « Graphique ».
2. Sélectionner la plage B3:B5 et entrer f, g et h.
3. Sélectionner C3:C5, cliquer sur Format / Cellule… / Nombre / Texte

    4. Sélectionner D3:D5 et entrer bi, bs et np.

• bi : borne inférieure de x,
• bs : borne supérieure de x,
• np : nombre de points sur chaque graphique.

     7. Sélectionner D3:E5, cliquer sur Insertion / Nom / Créer… et cocher uniquement « Colonne de gauche ».

*Assurez-vous que les noms sont bien définis en cliquant sur Insertion / Nom / Définir…

B) Nommer des formules

     8. Cliquer sur Insertion / Nom / Définir… et :

*La fonction EVALUER est une macro XLM qui ne peut pas être utilisée dans une cellule.

C) Créer un graphique vide

    9. Sélectionner une cellule vide entourée de huit cellules vides et cliquer sur Assistant Graphique / Types standard / Nuages de points.

D) Définir les séries du graphique

    10. Sélectionner le graphique et cliquer sur :

E) Points

    11. Cliquer avec le bouton droit de la souris sur une série du graphique et cliquer sur

F) Terminer le travail

    12. Modifier l'apparence du graphique comme il vous convient et placez-le où bon vous semble.

Il vous suffit maintenant d'entrer de nouvelles fonctions, des bornes en x
et le nombre de points désirés pour obtenir vos trois graphiques.

Éclaircissements sur deux formules

Formule 1

=bi+(LIGNE(DECALER($A$1;0;0;np))-1)*pas

Supposons que l'on veuille générer cinq valeurs de x pour x variant de -1 à 1.
Dans ce cas :
bi = -1 ( borne inférieure en x )
bs = 1 ( borne supérieure en x )
np = 5 ( nombre de valeurs de x ou nombre de points du graphique )
pas = (bs-bi)/(np-1) = 2/4 = 0,5 ( distance entre deux valeurs successives de x )
La formule devient donc :
=-1+(LIGNE(DECALER($A$1;0;0;5))-1)*0,5

Décortiquons :

=LIGNE(DECALER($A$1;0;0;5))
renvoie les numéros des lignes de la plage $A$1:$A$5 :

=LIGNE(DECALER($A$1;0;0;5))-1
soustrait 1 de chaque nombre de la matrice précédente :

=(LIGNE(DECALER($A$1;0;0;5))-1)*0,5
multiplie chaque nombre de la matrice précédente par 0,5 :

=-1+(LIGNE(DECALER($A$1;0;0;5))-1)*0,5
additionne -1 à chaque nombre de la matrice précédente.
Ce sont, enfin, les valeurs attendues :

Formule 2

=EVALUER(SUBSTITUE(f;"-";"+0-")&"+0*x")

Décortiquons :

=SUBSTITUE(f;"-";"+0-")
Ceci est une modification apportée à une formule de Stephen Bullen.
Supposons que la cellule nommée f contienne l'expression -x^2 -x.
Si on demande à Excel de calculer f (2), il procède ainsi :
f (2) = - 2^2 - 2 = (-2)^2 -2 = 2 car il interprète le premier signe - comme
une négation logique qui a priorité sur les opérations arithmétiques.
Or en notation mathématique, f (2) = - 2^2 - 2 = -4 - 2 = -6.
Pour obtenir ce résultat, il faut remplacer les - par +0-
On obtient alors +0 - x^2 + 0 - x.
Ce qui force Excel à faire une évaluation correcte. Sans cette substitution,
les graphiques de - x^2 - x et de x^2 - x seraient identiques !

=EVALUER(SUBSTITUE(f;"-";"+0-")&"+0*x")
Cette formule évalue f(x) pour chacune des valeurs de x définies par la formule
=bi+(LIGNE(DECALER($A$1;0;0;np))-1)*pas.
Le &"+0*x" est indispensable pour évaluer correctement les fonctions intégrées
d'Excel comme sin(x), cos(x), ln(x), ent(x), loi.normale(x;0;1;0) …
Et pour prévoir le coup où une fonction ne serait pas définie pour certaines valeurs de x,
vous pourriez utiliser le monstre :
=SI(ESTERREUR(EVALUER(SUBSTITUE(f;"-";"+0-")&"+0*x"));NA();
EVALUER(SUBSTITUE(f;"-";"+0-")&"+0*x")) [ À entrer sur une seule ligne ].
*Quand Excel voit NA(), il ne met pas de point sur le graphique.